我们已经介绍过有关线性方程组的基本知识了，包括利用代数的基本语言（矩阵形式等）来描述和解决线性方程组的求解问题，以及利用矩阵变换来描述和解决线性方程组的解的存在性问题等。

但是，我们对其的描述尚还停留在一些自然语言层面。换句话说，就是我们对线性方程组的认识是只能通过一些非形式半逻辑的语言的来描述各种结论，表达与表述上都过于繁琐，不具美感，也不是很符合数学的一般特征。（至少于我而言是如此，能否使用简洁的数学语言表达是对于数学学习、研究与发展的一个非常重要的方面。如果一个定理的证明与表达很多时候都没有好的符号表达，实际上反而不是很利于学习与研究的。）

(资料图)

于是，我们就有必要研究出一种数学形式，来简化我们的表述，同时还要推导出更多的利用这种新的数学形式对代数学研究更有意义的结论。

既然，我们将线性方程组抽离成了几个矩阵（系数矩阵、增广矩阵等），而矩阵本身是一张数表，那么我们自然就会想到，能否有一种对于数表的定义来胜任这项工作呢？

我们很容易想到，这很可能涉及到在数学分析部分浅提及过（虽然没有具体给出过，因为我们默认大家至少是会算的）的概念——行列式。那我们就有必要仔细研究一下，行列式的定义。

Chapter  Two  行列式

2.1  n元排列  &  2.2  n阶行列式的定义

我们是简要了解低阶行列式的计算方法的，例如三阶行列式：

无论如何，行列式的计算是与其中的元素高度相关的。比较不同的是，其中各种乘积项（下简称为项）的符号并不相同。如何确定符号，就是一个十分重要的问题。

不难看出，上述各乘积项前的符号，实际上是与列序数的排列有关系的（因为我们已经保证了行序数一定了），所以，我们可以从列序数的排列方式入手，来研究行列式各项的符号关系。

我们定义，n个不同的正整数的排列为一个n元排列。

例如，在三阶行列式当中，有：

123，231，312，321，213，132

共六个3元排列。

通过组合数学的知识，我们可以了解到，对于n个不同的正整数来说，所能形成的n元排列共有n！个。因此，首先我们就能知道，对于任何一个行列式，固定行序数的排列顺序，其项都有n！个。（这与三阶行列式的结果也是相吻合的。）

我们再从三阶行列式入手，看看列序数的排列可以怎样对应项的符号。

我们固定首位数不变，改变后两位数的顺序，可以看到，此时项的符号是正相反的。比如：

123，132——符号相反；

231，213——符号相反；

312，321——符号相反。

这启示我们，改变一次相邻列序数的排列顺序，会将符号倒置。

考虑了符号的改变，我们再来看看符号相同的各项之间有什么特点。

我们看到，从123到231，需要相邻列序数至少交换两次；而从123到312也是如此。同样地，对于132，213，321，每两项之间也要使相邻列序数发生至少两次交换。

于是，我们就得到了，改变两次相邻列序数的排列顺序，符号不变。

这就是行列式的各项之间符号规律。但是，仅有这样的规律仍然无法最终定夺各项的符号。以三阶行列式为例，我们只是知道了哪些项之间符号相同，哪些项之间符号不同，但是我们并不能知道要给哪一边赋以正，哪一边赋以负。我们需要一个决定性的规定，来明确至少一边的符号。

我们看到，在所有排列当中，有一个较为特殊的排列——123。123这一排列，其顺序与自然数一般增长的顺序一致，称为自然排列。在三阶行列式中，自然排列的符号为正，二阶行列式也如此。因此，我们不妨直接规定，具有自然排列的项的符号一定为正。

所以，所有在自然排列的基础上做了偶数次相邻列序数改变的排列，其符号都为正，称为偶排列；所有在自然排列的基础上做了奇数次相邻列序数改变的排列，其符号都为负，称为奇排列。

按照我们以上的讨论，以及三阶行列式的例子，我们很容易发现，似乎行列式中奇排列和偶排列的个数是相等的。（为了简化叙述，我们以“排列”代替“项”。）事实是否一定如此呢？

我们不妨设任意n阶行列式（n≥2）的偶排列个数为k，则奇排列的个数为(n!-k)。由于所有的奇排列经过一次相邻列序数的顺序改变都会变成一个偶排列，所以应该有k≥(n!-k)；同样地，所有的偶排列经过一次相邻列序数的顺序改变，都会变成一个奇排列，所以有(n!-k)≥k。因此，我们得到n!-k=k，即：

这说明任意n阶行列式（n≥2）中的奇排列和偶排列个数都是相等的。

虽然我们目前明确了行列式的符号规律，并且完全确定了行列式中什么样的项取定什么符号，但是我们仍然没办法以一种数学表达式来明确符号归属。所以我们要在我们所得到的上述规律当中，抽离出一种可以数字化的概念，与(-1)配合，完成对符号的严格数学表达。

我们知道，对于任何一种排列，我们都可以从自然排列出发，通过相邻数的顺序的改变来达到；反之亦可。（命题1，证明采用数学归纳法即可。）

因此，我们就知道，在符号规律当中，最为重要的，就是列序数通过改变相邻序数顺序变为自然排列的次数。我们将这个数称为该排列的逆序数。顾名思义，就是与正常顺序相反的顺序的数目。只要我们依次纠正这些不正常的顺序，最终就能够达到自然排列。

我们从任意排列当中选出两个数，将其不改变顺序的放置在一起，组合成一个数对。如果这个数对是顺序的，就是一个顺序对；如果是逆序的，就是一个逆序对。（顺序与逆序是与它们在自然数中的数位相比较得出的。）

对于逆序对，如果我们想要把它纠正成顺序对，在原排列中，我们就需要将二者不断靠近直至相邻。加入我们令n不动，不断交换m的位置，直到二者相邻，共需要m-n+1次；之后发生一次交换，改变数序；最后n再通过m-n+1次的交换回到原位。此时，逆序对的数目减少了一个。我们一共交换了2(m-n+1)+1次，相当于1次。此时正好改变了排列的奇偶性。

我们将这样改变任意两个数的顺序的操作称为对换，即“对调交换”。于是，我们有：

一次对换改变排列的奇偶性。

于是，我们受到启发，定义排列当中的逆序对数，称为该排列的逆序数，记为：

其中，为一个n元排列。此时，行列式中任意项的符号为：

于是，行列式就可以表达为：

（我们知道，行列式是基于n阶方形数表的运算规律，因此也可以利用矩阵的符号来表示。）

以上的讨论过程是以行序数顺序一定为前提的（这里是自然排列序），那如果是以列序数一定为前提呢？

首先，无论是固定行序数顺序，还是固定列序数顺序，排列的个数是不会改变的。我们需要考虑的，就是对应项之间符号是否相同。换句话说，就是经过一定的顺序改变之后，我们将列序数顺序一定变为我们指定的行序数顺序之后，对应的逆序数有没有发生改变。

对于列序数顺序一定的情况，其实就是：

我们将排列：

通过次对换变为：

此时，列序数的排列变为：

于是，就有：

则有：

其中，

与

只有各项顺序上的不同。

于是，行列式又可以定义为：

我们利用行列式的定义，直接得到一个有关特殊行列式的结果。

我们定义：

形如：

的矩阵，其特点是主对角线（即满足行序数等于列序数的位置连成的对角线）以下的元素都为0，称为上三角形矩阵。对应的行列式称为上三角形行列式。

我们通过定义，很容易就能得到，上三角形行列式的结果等于主对角线上的元素之积。

（命题2）

（对应的，我们还有下三角形矩阵与下三角形行列式的定义与结果。）

思考：

证明命题1；

证明命题2；

求出下列排列的逆序数，并判断其奇偶性：

（1）315462；

（2）365412；

（3）518694237；

（4）518394267；

证明：如果在n阶行列式中，第行分别与第列交叉位置的元素都是0，且k+l＞n，则该行列式的值为0；

证明：n阶方阵（n≥2）的各元素为1或-1，则det A为偶数。

みんながすべてマスターすることができることを望み ます！